新宿で生地問屋「船越商店」を開いた呉服商・船越栄一の次男として生まれ、四谷第五小学校から帝京中学校に入学する。当初は美術学校か写真学校に進学を希望するが、父親の勧めで1941年（昭和16年）に専修大学経済学部に入学、1944年（昭和19年）に学徒出陣で繰り上げ卒業。香川県三豊郡豊浜町（現・観音寺市）の陸軍船舶学校に入り、翌年の8月に見習士官として終戦を迎える。その後は父親の勧めで地元新宿に写真屋を開く。

しかし、1947年（昭和22年）、兄の友人が冷やかし半分で大映第2期ニューフェイス募集に船越の応募書類を送付したところ合格。同年3月に大映東京撮影所演技研究所に通い、4月には大映と専属契約、『第二の抱擁』で折原啓子の恋人役でデビュー。最初は出来心で俳優になったが、地元の新宿商店街に後援会まで発足してしまったので引っ込みがつかず、中途半端な心境のためか、当時を知る映画関係者によるとあまり印象に残らない俳優だったという。役柄も真面目青年しか与えられなかったが、1952年（昭和27年）に『安宅家の人々』、『秘密』の演技が好評を呼ぶ。

以降も二枚目俳優として大映のプログラムピクチャーに出演、もっぱら主演女優の引き立て役が多かったが、1956年（昭和31年）に『日本橋』、『四十八歳の抵抗』、翌年の『満員電車』、『夜の蝶』で演技派俳優として開花、それまでの単なる二枚目俳優から飄逸さと人間的逞しさを併せ持つ性格俳優となった。中でも1959年（昭和34年）の大岡昇平原作、市川崑監督の『野火』に主演し、極限状況における敗残兵を演じきり、絶賛されたその演技は各映画賞を総なめにした。その後も大映に欠かせないスターとして、美男のルックスと個性を活かして様々なジャンルの作品でその役柄をこなす手堅い演技派として活躍。菅原謙次や根上淳ら同年代の大映現代劇の男優たちよりも息の長い活躍を見せた。

「和製マルチェロ・マストロヤンニ」とも謳われ、1971年（昭和46年）の大映倒産まで映画で活躍。

その後は、学園ドラマ・現代劇・時代劇問わず活躍し、いずれにも代表作を残した。

私生活では1958年（昭和33年）10月10日に裕見子夫人と結婚、1960年（昭和35年）、長男 船越英一郎が誕生。1965年（昭和40年）からは神奈川県足柄下郡湯河原町に会員制旅館を創業、娘とともに経営にあたっていた。

1989年（平成元年）に紫綬褒章、1995年（平成7年）に勲四等旭日小綬章を受章した。2001年（平成13年）のフジテレビ系ドラマ『旗本退屈男』の出演を最後に俳優引退、その後は旅館に近い自宅で妻や娘夫婦と共に暮らし、余生を過ごしていたが、2007年（平成19年）3月15日に自宅で突然倒れ、すぐに静岡県内の病院に搬送されて意識もわずかにあったが、16日夜に容態が急変し、3月17日午後10時57分、脳梗塞により死去。84歳没、生没同日であった。息子の英一郎は主演映画の撮影現場から駆けつけている途中で、最期を看取るのはかなわなかった。英一郎の結婚には猛反対でその元妻の松居一代とはほとんど口もきかないほどの不仲だったという。