Főiskolásként magyar katonát játszott az 1968-ban készült Egri csillagok című filmben. Első tévés szerepe az 1969-ben készült Halálnak halála című tévéjátékban volt. 1970-ben végzett a Színház- és Filmművészeti Főiskolán, a Nemzeti Színház tagja lett. 1974-ben a miskolci Nemzeti Színházhoz szerződött, amelynek 1987-ig volt tagja, közben egy évadot játszott 1978–79-ben Kecskeméten. 1987-ben a budapesti Katona József Színházhoz szerződött. 1994–95-ben szabadfoglalkozású művész volt. 1995–96-ban a Thália Színházban, 1996-tól 1998-ig pedig a Thália Társaságban játszott. 1998 és 2001 között a Veszprémi Petőfi Színház, majd 2001-ben egy évadra a Vígszínház tagja lett. 2002 óta a Nemzeti Színház tagja. 1995–99 között az Aase-díj kuratóriumának tagja. 2008-ban Gyurcsány Ferenc elleni tiltakozásul nem fogadta el a Kossuth-díjat. 2011-ben ismét Kossuth-díjat kapott.

Édesapja, Blaskó János festőművész; édesanyja gyógyszerész volt.

Bátyja, ifj. Blaskó János szobrászművész.

Öccse, Blaskó Balázs színész. A Színházi adattárban három közös bemutatójukat regisztrálták:

Lorenzaccio (Miskolci Nemzeti Színház – 1978)

A félkegyelmű (Kecskeméti Katona József Színház – 1979)

La Mancha lovagja (Kecskeméti Katona József Színház – 1979)

A Színházi Adattárban, Blaskó Péter rögzített bemutatóinak száma 167; ezen a digitális platformon kilencvenhét színházi felvételen is látható.