Arthur Jensen var søn af værtshusholder i Havnegade Johan Peter Jensen (1852-1933) og Emmy Anthonia Petersen (1872-1919). Han var oprindelig uddannet som skrædder og søgte derefter ind på Det Kongelige Teaters skræddersal, der blev et springbræt til mindre roller, optagelsesprøve og uddannelse på Det Kongelige Teaters Elevskole i årene 1920-1923. Efter de 3 års uddannelse, fik han sin debut på samme teater i 1923 i "Den ny barselstue". Senere fik han engagement ved Det ny Teater, hvor han havde stor succes i "Intet nyt fra Vestfronten". Arthur Jensen fik senere karakterroller på forskellige teatre og på turnéer i provinsen, fx. spillede han ægtemanden i "Fødselsdagsselskabet" på Fiolteatret, kasketmageren i "Natherberget" og den enøjede morder i "Morder uden betaling". På grund af sit udseende og sin lille statur, spillede han ofte drengede roller, også i en moden alder. Han blev meget brugt som revyskuespiller, bl.a. medvirkede han i den sidste Scala-revy "Punktum-Finale" i 1930. Senere var han bl.a. hos Stig Lommer og i Cirkusrevyen, hvor han i 1946 havde viserne "Jeg vil ha' mor med" og "Tråden går videre", i 1951 "Lille Viggo" og i 1953 i Cirkus Ib "Det må jeg ikke for mo'ar". Han debuterede i Fy og Bi-filmen "Pas på pigerne" fra 1930, hvor han spillede sammen med Christian Arhoff og Marguerite Viby. Hans første tonefilm var "Tretten år" fra 1932. Derefter medvirkede han i et utal af film op igennem årtiet. I filmen "Kidnappet" synger han sammen med Ib Schønberg "Æh, bæ, buh". Han medvirkede kun i 2 spillefilm i 1940'erne, nemlig "Familien Olsen" fra 1940 og "Kristinus Bergmann" fra 1948. Både i 1950'erne og 1960'erne var han atter uhyre aktiv på film. Faktisk medvirkede han i næsten 40 film. Det var ikke store roller, men han blev lagt mærke til. Bl.a. huskes han fra filmen "Fem mand og Rosa" fra 1964, hvor han spiller Helmer Gamtofte, Auroras (Jytte Abildstrøm) far, der forsøger at tvinge Konradsen (Willy Rathnov) til at gifte sig med hende. Vi husker også scenen, hvor han, ved at tisse i komfuret, een gang for alle får fortalt sin måbende hustru (Lily Broberg), hvem der er herre i huset. I 1970 blev han hele Danmarks vicevært Meyer, da han dukkede op på de danske TV-skærme i serien "Huset på Christianshavn" og ingen vil glemme ham i rollen som den forfinede førstemand i Damernes Magasin i "Matador". En anden rolle han også blev rost meget for, var rollen som Menneske Morten i Tv-serien Livsens ondskab. Han nåede kort før sin død at medvirke i filmen "Jeppe på bjerget", hvor han spillede lakaj.

Jensen, Sohn eines Gaststättenbesitzers, erlernte zunächst das Schneiderhandwerk. Von 1920 bis 1923 besuchte er die Theaterschule des Kongelige Teater und hatte an diesem Theater 1923 seinen Debütauftritt in einer Inszenierung von Hans Christian Andersens Den nye barselstue. In den 1930er Jahren war er am Det Ny Teater engagiert und hatte dort großen Erfolg in einer Inszenierung von Im Westen nichts Neues. Neben seiner Arbeit als Charakterdarsteller war er auch als Komiker und Revuedarsteller gefragt; unter anderem trat er 1930 in der letzten Revue an der Kopenhagener Scala auf (Punktum-Finale) und tourte in den 1940ern und 1950ern mit der Cirkusrevyen.

Seit 1925 war er zudem im Kino zu sehen, zunächst in vier Pat & Patachon-Stummfilmkomödien von Lau Lauritzen sr. Es folgten Rollen in Filmen dänischer Regisseure wie Holger-Madsen, Jon Iversen (1889–1964), George Schnéevoigt (1893–1961) und Annelise Reenberg (1919–1994). In den 1930ern trat er in mehr als einem Dutzend Filmen, viele darunter von Alice O’Fredericks (1899–1968) und Lau Lauritzen jr. inszeniert, gemeinsam mit Ib Schønberg (1902–1955) als komisches Duo auf. In den 1960ern und 1970ern spielte er schrullige Nebenrollen in Komödienserien von Sven Methling, John Hilbard und Werner Hedman. Nationale und internationale Bekanntheit verdankte er schließlich seiner Zusammenarbeit mit dem Komödienspezialisten Erik Balling: sowohl seine Auftritte in fünf Olsenbande-Filmen als auch seine einprägsamen Charaktere in zwei Fernsehserien von Balling (er spielte den Hausmeister Meyer in allen 84 Folgen der Serie Oh, diese Mieter und den Rudolf Schwann in den ersten 12 Folgen von Matador) sorgten besonders in Dänemark für eine anhaltende Popularität Jensens. Seine Grabstätte befindet sich auf dem Vestre Kirkegård in Kopenhagen.