Родился 14 мая 1941 года в Москве. В 1964 году окончил театральное училище (вуз) им. Б. В. Щукина (педагог — А. А. Орочко) и в том же году был принят в труппу Государственного академического театра им. Е. Вахтангова, где работает до сих пор. Обладает хорошими вокальными данными и владеет игрой на гитаре.

В кино дебютировал в 1954 году в фильме «Аттестат зрелости», с тех пор сыграл более тридцати киноролей в кино и на телевидении, в том числе главную роль в фильме «Зелёный огонёк». Наибольшей известностью среди киноролей Алексея Глебовича пользуется роль английского герцога Бекингэма в трёхсерийном музыкальном фильме «Д’Артаньян и три мушкетёра». Режиссёр картины Георгий Юнгвальд-Хилькевич сказал об этой работе буквально следующее: «К чести Алексея Кузнецова следует заметить, что из него получился прекрасный Бекингэм. Это один из моих любимых образов». В памяти многих зрителей Кузнецов известен как Кирсанов-старший из фильма «Отцы и дети». В настоящее время в кино он снимается нечасто, среди последних его киноработ — роли в картинах «Брак по завещанию» и «Обрыв».

В 1967 году Алексей Глебович был приглашён на кафедру мастерства актёра в качестве преподавателя, а в 1995 году — на кафедру сценической речи педагогом по художественному чтению, где и работает по настоящее время.

Кузнецов также озвучивал некоторые роли и в компьютерных играх, таких как «Heroes of Might and Magic V», «World of Warcraft: Wrath of the Lich King», «Lionheart: Legacy of the Crusader», «The Elder Scrolls V: Skyrim». Ученики Алексея Глебовича: А. Пискунов, А. Олешко, С. Бурунов, Дм. Пахомов, Д. Шевченко и др. неоднократно становились победителями Межвузовского конкурса чтецов имени Я. М. Смоленского и Всероссийского студенческого конкурса чтецов имени В. Н. Яхонтова (Санкт-Петербург).