Comenzó a trabajar en el teatro con el Grupo de Teatro Universitario de Santander y actuando en diversas obras teatrales en la radio. Con la compañía Lope de Vega, a cuyas representaciones asistía como espectador en la plaza porticada, soñando con poder representar esos personajes, buscó una oportunidad y se presentó ante don José Tamayo, diciéndole que quería ser comediante. Este le dijo que aprendiera unos versos y volviera al día siguiente. Aquel siguiente día, al terminar la representación, Julio Nuñez le recitó unos versos de Otelo. La reacción de don José Tamayo fue decirle si estaba dispuesto a debutar ya y el le contestó que sí. Así fue como le dió el papel de galán en la obra El Anticuario, con la que abandona su tierra natal y por primera vez recorre toda España, actuando en diversos Festivales.

Debutó como actor cinematográfico en la década de 1950, prácticamente al mismo tiempo que como doblador, trabajo en el que prestó su voz a Peter O'Toole, Jack Palance y Omar Sharif, y en televisión en la serie Dinastía, donde dobló el personaje de Blake Carrington (John Forsythe), sustituyendo a Francisco Sánchez, y también fue el sustituto de José Martínez Blanco como voz de Gavin MacLeod en la serie Vacaciones en el mar. Otro doblaje que le hizo muy popular fue el de Claude Akins en su papel de Sheriff Lobo.

En teatro intervino en el montaje de El embrujado y Ligazón (1969), de Valle-Inclán y estrenó, entre otras, sendas obras de Antonio Buero Vallejo: La doble historia del doctor Valmy (1976) y Música cercana (1989), así como El amor es un potro desbocado (1959), de Luis Escobar.

Aunque intervino en una docena de películas, su rostro no se hizo popular hasta que se hizo habitual en programas dramáticos de RTVE desde mediados de los 60, apareciendo en numerosos Estudio 1 y series como Sospecha, Fortunata y Jacinta y Juncal. Núñez simultaneó ambas ocupaciones hasta la década de los 80, cuando decidió centrarse en el doblaje.

Su última aparición cinematográfica fue en A los que aman (1998), de Isabel Coixet.

Viaja a México 2001 para íntervenir en diplomados artísticos internacionales y deja enseñanzas a Grandes Actores de Teatro en México como: Odoli panama, Diario Vilchis, Fernando Zarama, Aldo Ceballos, Martha Luna, Veronica einston, Martin Flores, Efrain Gonzales

Falleció de un fallo cardíaco en Madrid el 17 de enero de 2008.