Родился 18 ноября 1984 года в Москве. В 2001 году по окончании средней школы №1910 поступил в Школу-студию МХАТ (курс народного Артиста РФ К.А. Райкина). В том же году впервые вышел на сцену Российского Государственного театра «Сатирикон» имени Аркадия Райкина, в котором работает по настоящее время.

До 11 класса Алексей и не задумывался о будущей профессии. Он занимался всем, что было интересно, но на первом месте для него всегда был спорт. Фехтование, восточные единоборства, плавание... Но самым большим увлечением оставался футбол.

Я и в 11 класс пошёл, потому что не знал, куда поступать. Родители говорили: «Ну хоть кем-то стань!»

Однажды услышал, как одна девочка говорила другой, что пошла на театральные курсы. Вот тут и пришла мысль: «А почему мне не попробовать». Хотя до этого даже ни разу не был в театре. Упросил родителей (мама — укладчица на заводе, а папа — слесарь-монтажник) найти денег на обучение. «Сразу же понял: это моё дело! Нёсся на занятия как сумасшедший. В итоге поступил одновременно и в РАТИ, и в «Щуку», и в Школу-студию — на ней и решил остановиться, ведь курс тогда набирал Константин Райкин.

После начала учёбы стал играть в «Сатириконе», — рассказывает Бардуков. Теперь, после съёмок в «Диверсанте», Алексей сам помогает родителям — все заработанное отдал маме и папе на ремонт их скромной квартиры в Марьино. Он понимает, как им непросто растить троих детей (у Алексея есть ешё младшие сестренка и братишка).

Всю жизнь многодетная семья Бардуковых прожила в Москве, вместе с тремя детьми родители ютились в маленькой комнате коммунальной квартиры. Только когда Лёша пошел в шестой класс, родители смогли купить большую квартиру в районе Москвы. Тогда у мальчишки и началась другая жизнь - новая школа, друзья, увлечения.